Question

[Zek Tim]

Người ta viết dãy số 1;2;3;...;1000000 sau đó mỗi số được thay bằng tổng các chữ số của nó. Cứ làm vậy nhiều lần cho đến khi trong dãy chỉ có các số có một chữ số. Hỏi lúc này trong dãy, chữ số nào xuất hiện nhiều lần nhất?

Answer 1

[Nguyễn Minh Vũ]

 Kí hiệu S(n)S(n) là tổng các chữ số của nn. Ta có S(n)≡nS(n)≡n (mod 9).

Do đó sau khi thay nn bằng S(n)S(n) thì số dư khi chia cho 9 là không đổi.

⇒⇒ Kết quả cuối cùng là các số có 1 chữ số là số dư của số ban đầu khi chia 9.

Mà số đầu và số cuối của dãy chia 9 dư 1 nên số dư 1 là nhiều nhất.

Tức là chữ số 1 xuất hiện nhiều nhất.